പ​രീ​ക്ഷ​യെ​ന്നാ​ൽ പ​രീ​ക്ഷ​ണം ത​ന്നെ. അ​തി​നെ സ​ധൈ​ര്യം നേ​രി​ടാ​ൻ ത​യാ​റെ​ടു​പ്പു വേ​ണം. ചോ​ദ്യ​മാ​തൃ​ക​ക​ൾ അ​റി​യ​ണം.​ഉ​ത്ത​ര​ങ്ങ​ൾ മ​ന​സ്സി​ലാ​ക്ക​ണം.​പ്ര​ധാ​ന​പ്പെ​ട്ട സൂ​ത്ര​വാ​ക്യ​ങ്ങ​ളും സൂ​ച​ക​ങ്ങ​ളും മ​നഃ​പാ​ഠ​മാ​ക്ക​ണം.​പ​ഠി​ച്ച കാ​ര്യ​ങ്ങ​ളെ ആ​ശ​യ​ങ്ങ​ളെ,സ​ങ്ക​ല്പ​ങ്ങ​ളെ വ്യ​ത്യ​സ്ത​ങ്ങ​ളാ​യ സ​ന്ദ​ർ​ത്തി​ൽ പ്ര​യോ​ഗി​ക്കാ​നു​ള്ള ക​ഴി​വു​ണ്ടാ​ക​ണം.​എ​ല്ലാ കു​ഞ്ഞു​കൂ​ട്ടു​കാ​ർ​ക്കും വി​ജ​യാ​ശം​സ​ക​ൾ.

1.സ​മാ​ന്ത​ര​ശ്രേ​ണി​ക​ൾ

പ്ര​ധാ​ന ആ​ശ​യ​ങ്ങ​ൾ

1. ഏ​തു സ​മാ​ന്ത​ര​ശ്രേ​ണി​യു​ടെ​യും ബീ​ജ​ഗ​ണി​ത​രൂ​പം Xn= an+b ‘a’ എ​ന്ന​ത് പൊ​തു​വ്യത്യാസവും a+b എ​ന്ന​ത് ആ​ദ്യ​പ​ദ​വും ആ​ണ്.
2. ഒ​ന്നാം പ​ദം ത​ന്നാ​ൽ,പ​ത്താം പ​ദം X10=f+9d
നാ​ലാം പ​ദം ത​ന്നാ​ൽ,പ​ത്താം പ​ദം X10=f+6d
3. ഒ​ന്നാം പ​ദം f പൊ​തു​വ്യ​ത്യാ​സം d എ​ങ്കി​ൽ n-ാംപ​ദം =f+(n+1)d.
4. n-ാം പ​ദ​ത്തി​നെ ശ്രേ​ണി​യു​ടെ ബീ​ജ​ഗ​ണി​ത​രൂ​പം എ​ന്നും പ​റ​യും
5. ഏ​തെ​ങ്കി​ലും ര​ണ്ട് പ​ദ​ങ്ങ​ൾ Xm , Xn ത​ന്നാ​ൽ പൊ​തു​വ്യ​ത്യാ​സം


6. a,b,c എ​ന്നി​വ ഒ​രു ശ്രേ​ണി​യു​ടെ തു​ട​ർ​ച്ച​യാ​യ 3 പ​ദ​ങ്ങ​ൾ ആ​ണെ​ങ്കി​ൽ മ​ധ്യ​പ​ദം


7. ഒ​രു സ​മാ​ന്ത​ര​ശ്രേ​ണി​യു​ടെ ഏ​ത് ര​ണ്ട് പ​ദ​ങ്ങ​ളു​ടെ വ്യ​ത്യാ​സ​വും പൊ​തു​വ്യ​ത്യാ​സ​ത്തി​ന്‍റെ ഗു​ണി​ത​മാ​യി​രി​ക്കും.
8. ഒ​രു സ​മാ​ന്ത​ര​ശ്രേ​ണി​യു​ടെ ഏ​തൊ​രു പ​ദ​ത്തി​നെ​യും പൊ​തു​വ്യ​ത്യാ​സം കൊ​ണ്ട് ഹ​രി​ച്ചാ​ൽ ഒ​രേ ശി​ഷ്ടം ല​ഭി​ക്കും.
9. ഒ​ന്നു മു​ത​ൽ തു​ട​ർ​ച്ച​യാ​യ n എ​ണ്ണ​ൽ സം​ഖ്യ​ക​ളു​ടെ തു​ക 1+2+3+......+n=


10. സ​മാ​ന്ത​ര​ശ്രേ​ണി​യി​ലെ പ​ദ​ങ്ങ​ളു​ടെ തു​ക =


11. സ​മാ​ന്ത​ര​ശ്രേ​ണി​യി​ലെ പ​ദ​ങ്ങ​ളു​ടെ തു​ക =


12. ആ​ദ്യ​പ​ദം X1,അ​വ​സാ​ന​പ​ദം Xn, പൊ​തു​വ്യ​ത്യാ​സം xd എ​ങ്കി​ൽ പ​ദ​ങ്ങ​ളു​ടെ എ​ണ്ണം


13. ഒ​രു സ​മാ​ന്ത​ര​ശ്രേ​ണി​യു​ടെ ര​ണ്ട് അ​റ്റ​ങ്ങ​ളി​ൽ നി​ന്നും തു​ല്യ സ്ഥാ​ന​ത്തു​ള്ള പ​ദ​ജോ​ഡി​ക​ളു​ടെ തു​ക​ക​ൾ തു​ല്യ​മാ​യി​രി​ക്കും.​ഉ​ദാ​ഹ​ര​ണ​ത്തി​ന് സ​മാ​ന്ത​ര​ശ്രേ​ണി​യു​ടെ പ​ദ​ങ്ങ​ളാ​ണ് X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7, X8, X9, X10 എ​ങ്കി​ൽ X1+X10= X2+X9= X3+X8= X4+X7= X5+X6 ആ​യി​രി​ക്കും.
14. ഒ​രു സ​മാ​ന്ത​ര​ശ്രേ​ണി​യു​ടെ തു​ക​യു​ടെ Aബീ​ജ​ഗ​ണി​ത​രൂ​പം എ​പ്പോ​ഴും an2 +bn എ​ന്നാ​യി​രി​ക്കും.​അ​തി​ന്‍റെ പൊ​തു​വ്യ​ത്യാ​സം n2 ഗു​ണ​ക​ത്തി​ന്‍റെ ഇ​ര​ട്ടി 2a ആ​യി​രി​ക്കും.​ഒ​ന്നാം പ​ദം ഗു​ണ​ക​ങ്ങ​ളു​ടെ തു​ക a+b ആ​യി​രി​ക്കും.

ചോ​ദ്യ​ങ്ങ​ൾ

1. (n+2)2- ( n-2)2 എ​ന്ന ബീ​ജ​ഗ​ണി​ത​വാ​ച​ക​ത്തി​ൽ n-ന് 1 മു​ത​ൽ തു​ട​ർ​ച്ച​യാ​യ എ​ണ്ണ​ൽ സം​ഖ്യാ​വി​ല​ക​ൾ ന​ൽ​കി​യാ​ൽ കി​ട്ടു​ന്ന സം​ഖ്യ​ശ്രേ​ണി എ​ഴു​തു​ക.​ഈ സം​ഖ്യ​ശ്രേ​ണി​യി​ൽ 144 എ​ത്രാം പ​ദ​മാ​ണ്.?
n= 1,2,3,........... കി​ട്ടു​ന്ന​ശ്രേ​ണി :8,16,42,31....................
=18





2. 184,178,172,166 ...... എന്ന സമാന്തരശ്രേണിയുടെ
a) ബീജഗണിതരൂപം n-ാം പദം എഴുതുക
b) ഈ ശ്രേണിയിൽ എത്ര അധിസംഖ്യാപദങ്ങൾ ഉണ്ട്?
c) ഈ ശ്രേണിയിലെ ഏറ്റവും വലിയ ന്യൂനസംഖ്യാപദം ഏത്?

ഉത്തരം


ശ്രേണിയിൽ 31 അധിസംഖ്യാ പദങ്ങൾ ഉണ്ട്.
c) ഏറ്റവും വലിയ ന്യൂനസംഖ്യാപദം
= x 32
= 190 - 6 x 32
= -2
3. ഒരു സമാന്തരശ്രേണിയുടെ m-ാംപദം nഉം n -ാം പാദം ഉം mഉം ആണ്.
a) ശ്രേണിയുടെ പൊതുവ്യത്യാസം എത്ര?
b) ശ്രേണിയുടെ (m+n+p) പദം -p ആണെന്ന് സമർഥിക്കുക.



2 & 7 വൃത്തങ്ങളും തൊടുവരകളും

1. ഒരു അർദ്ധവൃത്തത്തിലെ കോണ്‍ 900 ആയിരിക്കും.
2. ഒരു ചാപത്തിലെ കോണുകൾക്കെല്ലാം തുല്യ അളവായിരിക്കും.
3.ഒ​രു ചാ​പ​ത്തി​ന്‍റെ കേ​ന്ദ്ര​കോ​ണി​ന്‍റെ പ​കു​തി​യാ​യി​രി​ക്കും മ​റു​ചാ​പ​ത്തി​ലെ കോ​ണ്‍
4. ഒ​രു ച​ക്രി​യ​ച​തു​ർ​ഭു​ജ​ത്തി​ലെ എ​തി​ർ​കോ​ണു​ക​ളു​ടെ തു​ക 1800 ആ​യി​രി​ക്കും
5. ഒരു ചാപത്തിന്‍റെയും മറുചാപത്തിന്‍റെയും കേന്ദ്രകോണുകളുടെ തുക 1800 ആയിരിക്കും.
6. ഒരു വൃത്തത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവിൽ വരച്ച തൊടുവര ആ ബിന്ദുവിലേക്കുള്ള ആരത്തിന് ലംബമായിരിക്കും.
7.പുറമെയുള്ള ഒരു ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് വൃത്തത്തിലേക്ക് വരക്കുന്ന രണ്ട് തൊടുവരകൾക്കും ഒരേ നീളമായിരിക്കും.
8. പു​റ​മെ​യു​ള്ള ഒ​രു ബി​ന്ദു​വി​ൽ നി​ന്ന് വൃ​ത്ത​ത്തി​ലേ​ക്ക് വ​ര​യ്ക്കു​ന്ന ര​ണ്ട് തൊ​ടു വ​ര​ക​ൾ​ക്ക് ഇ​ട​യി​ലു​ള്ള കോ​ണും,അ​വ​യി​ലേ​ക്കു​ള്ള ആ​ര​ങ്ങ​ൾ​ക്കി​ട​യി​ലു​ള്ള കോ​ണും കൂ​ട്ടി​യാ​ൽ 1800 കി​ട്ടും.
9. ഒ​രു വൃ​ത്ത​ത്തി​ലെ ഒ​രു ഞാ​ണി​ന്‍റെ അ​റ്റ​ത്തു വ​ര​യ്ക്കു​ന്ന തൊ​ടു​വ​ര ഞാ​ണുമാ​യി ഒ​രു ഭാ​ഗ​ത്ത് ഉ​ണ്ടാ​കു​ന്ന കോ​ണ്‍ ഞാ​ണി​ന്‍റെ മ​റു​ഭാ​ഗ​ത്തെ വൃ​ത്ത​ഖ​ണ്ഡത്തി​ലെ കോ​ണി​ന് തു​ല്യ​മാ​യി​രി​ക്കും.
10. വി​സ്തീ​ർ​ണ്ണം A യും ​ചു​റ്റ​ള​വി​ന്‍റെ പ​കു​തി S ഉം ​ആ​യി​ട്ടു​ള്ള ത്രി​കോ​ണ​ത്തി​ന്‍റെ അ​ന്ത​ർ​വൃ​ത്ത
ആ​രം


11. വ​ശ​ങ്ങ​ളു​ടെ a,b,c ഉ​ള്ള ത്രി​കോ​ണ വി​സ്തീ​ർ​ണം



ചോ​ദ്യ​ങ്ങ​ൾ

1. 5 സെ​ന്‍റീ​മീ​റ്റ​ർ,6 സെ​ന്‍റീ​മീ​റ്റ​ർ, 7 സെ​ന്‍റീ​മീ​റ്റ​ർ വ​ശ​ങ്ങ​ളു​ള്ള ഒ​രു ത്രി​കോ​ണം വ​രയ്ക്കു​ക. ഈ ​ത്രി​കോ​ണ​ത്തി​ന്‍റെ അ​ന്ത​ർ​വൃ​ത്തം വ​ര​യ്ക്കു​ക. ഏ​തെ​ങ്കി​ലും ര​ണ്ട് കോ​ണു​ക​ൾ​ക്ക് സ​മ​ഭാ​ജി വ​ര​യ്ക്കു​ക. സ​മ​ഭാ​ജി​ക​ൾ സം​ഗ​മി​ക്കു​ന്ന ബി​ന്ദു കേ​ന്ദ്ര​മാ​ക്കി കേ​ന്ദ്ര​ത്തി​ൽ നി​ന്നും ഒ​രു വ​ശ​ത്തേ​ക്കു​ള്ള അ​ക​ലം ആ​ര​മാ​ക്കി വൃ​ത്തം വ​ര​യ്ക്കു​ക.
2. ത്രി​കോ​ണം ABC യു​ടെ അ​ള​വു​ക​ൾ AB = 6സെ​ന്‍റീ​മീ​റ്റ​ർ, 3. ആ​രം 2.5 സെ​ന്‍റീ​മീ​റ്റ​ർ ആ​യ ഒ​രു വൃ​ത്തം വ​ര​യ്ക്കു​ക. വ​ശ​ങ്ങ​ളെ​ല്ലാം ഈ വൃ​ത്ത​ത്തെ തൊ​ടു​ന്ന​തും കോ​ണു​ക​ൾ 400,600,800 ആ​യ ത്രി​കോ​ണം വ​ര​യ്ക്കു​ക.
4. 3 സെ​ന്‍റീ​മീ​റ്റ​ർ ആ​ര​മു​ള്ള ഒ​രു വൃ​ത്തം വ​ര​ച്ച് അ​തി​ന്‍റെ കേ​ന്ദ്ര​ത്തി​ൽ നി​ന്നും 7 സെ​ന്‍റീ​മീ​റ്റ​ർ അ​ക​ല​ത്തി​ൽ ഒ​രു ബി​ന്ദു അ​ട​യാ​ള​പ്പെ​ടു​ത്തു​ക. ഈ ​ബി​ന്ദു​വി​ൽ നി​ന്ന് വൃ​ത്ത​ത്തി​ലേ​ക്ക് തൊ​ടു​വ​ര​ക​ൾ വ​ര​യ്ക്കു​ക.
5. 7 cm നീ​ള​വും 5 cm വീ​തി​യു​മു​ള്ള ച​തു​രം വ​ര​ച്ച് തു​ല്യ​പ​ര​പ്പ​ള​വു​ള്ള സ​മ​ച​തു​രം നി​ർ​മ്മി​ക്കു​ക.
6. 21cm നീ​ള​മു​ള്ള ഒ​രു വ​ര വ​ര​യ്ക്കു​ക. 21 cm2 പ​ര​പ്പ​ള​വു​ള്ള സ​മ​ച​തു​രം വ​രയ്ക്കു​ക.

3. സാ​ധ്യ​ത​ക​ളു​ടെ ഗ​ണി​തം

1. ഒ​രു സം​ഭ​വ​ത്തി​ന്‍റെ സാ​ധ്യ​ത



2. അ​നു​കൂ​ല സാ​ധ്യ​ത + പ്ര​തി​കൂ​ല സാ​ധ്യ​ത = 1

ചോ​ദ്യ​ങ്ങ​ൾ

1. 52 ചീ​ട്ടു​ക​ളു​ള്ള ഒ​രു പാ​യ്ക്ക​റ്റി​ൽ പ​കു​തി ചീ​ട്ടു​ക​ൾ ചു​വ​ന്ന നി​റ​മു​ള്ള​വ​യും ബാ​ക്കി ക​റു​ത്ത നി​റ​മു​ള്ള​വ​യു​മാ​ണ്. Hearts, Spade, Clubs, Diamond അ​ട​യാ​ള​ങ്ങ​ളു​ള്ള 13 ചീ​ട്ടു​ക​ൾ വീ​ത​മാ​ണ് ആ​കെ​യു​ള്ള​ത്.
a) അ​ത് ക​റു​ത്ത​താ​കാ​നു​ള്ള സാ​ധ്യ​ത എ​ത്ര?
b) അ​ത് Spade ആ​കാ​നു​ള്ള സാ​ധ്യ​ത എ​ത്ര?
c) അ​ത് Spade ഒാ Diamond ​ഒാ ആ​കാ​നു​ള്ള സാ​ധ്യ​ത എ​ത്ര?
a) ആ​കെ ചീ​ട്ടു​ക​ളു​ടെ എ​ണ്ണം = 52
ക​റു​ത്ത ചീ​ട്ടു​ക​ളു​ടെ എ​ണ്ണം = 26
എ​ടു​ത്ത ചീ​ട്ട് ക​റു​ത്ത​താ​കാ​നു​ള്ള സാ​ധ്യ​ത




b) Spade ചീ​ട്ടു​ക​ളു​ടെ എ​ണ്ണം = 13
എ​ടു​ത്ത ചീ​ട്ട് spade ആ​കാ​നു​ള്ള സാ​ധ്യ​ത =



c) Spade ​ഓ Diamond ഒാ ​ആ​യ ചീ​ട്ടു​ക​ളു​ടെ എ​ണ്ണം = 13 +13 =26
എ​ടു​ത്ത ചീ​ട്ട് Spade ഓ Diamond ​ഒാ ആ​കാ​നു​ള്ള സാ​ധ്യ​ത =



2. ഒ​രു സ​മ​ച​തു​ര​ക്ക​ട്ട​യു​ടെ ഒ​രു വ​ശ​ത്ത് ഒ​രു കു​ത്ത്,മ​റ്റൊ​രു വ​ശ​ത്ത് ര​ണ്ട് കു​ത്ത്,മ​റ്റൊ​രു വ​ശ​ത്ത് മൂ​ന്ന് കു​ത്ത് എ​ന്ന ക്ര​മ​ത്തി​ൽ ആ​റ് വ​ശ​ങ്ങ​ളി​ലും കു​ത്തു​ക​ൾ ഇ​ട്ടി​രി​ക്കു​ന്ന ഇ​തേ പോ​ലു​ള്ള മ​റ്റൊ​രു സ​മ​ച​തു​ര​ക്ക​ട്ട​കൂ​ടി എ​ടു​ക്കു​ന്നു.
a) ഈ ​ര​ണ്ട് ക​ട്ട​ക​ളും ഒ​രേ സ​മ​യം എ​റി​ഞ്ഞാ​ൽ മു​ക​ൾ വ​ശ​ത്ത് വ​രു​ന്ന കു​ത്തുക​ളു​ടെ ആ​കെ
എ​ണ്ണം 6 വ​രാ​നു​ള്ള സാ​ധ്യ​ത എ​ത്ര?
b) ആ​കെ കു​ത്തു​ക​ളു​ടെ എ​ണ്ണം 9 വ​രാ​നു​ള്ള സാ​ധ്യ​ത എ​ത്ര​‍?
c) ആ​കെ കു​ത്തു​ക​ളു​ടെ എ​ണ്ണം ഒ​രു അ​ഭാ​ജ്യ​സം​ഖ്യ ആ​കു​വാ​നു​ള്ള സാ​ധ്യ​ത എ​ത്ര?
ആ​കെ ജോ​ഡി​ക​ളു​ടെ എ​ണ്ണം 36
a) കു​ത്തു​ക​ളു​ടെ ആ​കെ എ​ണ്ണം 6 വ​രു​ന്ന ജോ​ഡി​ക​ൾ (1,5) (2,4) (3,3) (4,2) (5,1)
സാ​ധ്യ​ത


c) 9 വ​രു​ന്ന ജോ​ഡി​ക​ൾ (3,6) (4,5) (5,4) (6,3)
സാ​ധ്യ​ത


c) 1 വ​രാ​നു​ള്ള സാ​ധ്യ​ത =


ആ​കെ കു​ത്തു​ക​ൾ അ​ഭാ​ജ്യ​സം​ഖ്യ​ക​ൾ ആ​കു​ന്ന ജോ​ഡി​ക​ൾ(1,1) (1,2) (1,4) (1,6) (2,1) (2,3) (2,5) (3,2) (3,4) (4,1) (4,3) (5,2),(5,6) (6,1) (6,5)
സാ​ധ്യ​ത

4. ര​ണ്ടാം​കൃ​തി സ​മ​വാ​ക്യ​ങ്ങ​ൾ

ഒ​രു ര​ണ്ടാം​കൃ​തി സ​മ​വാ​ക്യ​ത്തി​ന്‍റെ, സാ​മാ​ന്യ​രൂ​പം ax2+bx+c=0, a=0 ax2+bx+c=0 എ​ന്ന സ​മ​വാ​ക്യ​ത്തി​ൽ "x’ന് ​പ​ര​മാ​വ​ധി 2 വി​ല​ക​ൾ ഉ​ണ്ട്. x2+ax നെ ​വ​ർ​ഗം തി​ക​യ്ക്കാ​ൻ കൂ​ട്ടി​യാ​ൽ മ​തി.
ax2+bx+c =0 എ​ന്ന സ​മ​വാ​ക്യ​ത്തി​ൽ



1. ഒ​രു സം​ഖ്യ​യു​ടെ​യും അ​തി​ന്‍റെ വ്യൂ​ൽ​ക്ര​മ​ത്തി​ന്‍റെ​യും വ്യ​ത്യാ​സം ഏ​ത് അ​ധി​സം​ഖ്യ​യു​മാ​കാ​മെ​ന്ന് സ​മ​ർ​ഥി​ക്കു​ക.
സം​ഖ്യ = X
വ്യൂ​ൽ​ക്ര​മം =




k ഏ​ത് സം​ഖ്യ ആ​യാ​ലും k2+4 അ​ധി​സം​ഖ്യ​യാ​യി​രി​ക്കും.
2. 44 സെ.​മീ ചു​റ്റ​ള​വു​ള്ള ഒ​രു ച​തു​ര​ത്തി​ന്‍റെ പ​ര​പ്പ​ള​വ് 117 ച.​സെ.​മീ ആ​ണ്.
a) സ​മ​ച​തു​ര​ത്തി​ന്‍റെ നീ​ളം 11 സെ.​മീ ആ​യാ​ൽ വീ​തി എ​ത്ര?
b)ച​തു​ര​ത്തി​ന്‍റെ നീ​ള​വും വീ​തി​യും ക​ണ​ക്കാ​ക്കു​ക.
നീ​ളം = 11 + x
വീ​തി = 22 -(11+ x)
= 11 -x
പ​ര​പ്പ​ള​വ് (11+ x) (11+ x) = 177
121 x2 =117
x2 = 4
x= 2
നീ​ളം സെ​മീ = 11 +2 =13 സെ.​മീ
വീ​തി സെ​മീ = 11- 2 = 9 സെ.​മീ
3. ര​ണ്ട് സ​മ​ച​തു​ര​ങ്ങ​ളു​ടെ പ​ര​പ്പ​ള​വു​ക​ളു​ടെ തു​ക 500m2 ആ​ണ്.​അ​വ​യു​ടെ ചു​റ്റ​ളവു​ക​ൾ ത​മ്മി​ലു​ള്ള വ്യ​ത്യാ​സം 40m ആ​യാ​ൽ സ​മ​ച​തു​ര​ത്തി​ന്‍റെ ര​ണ്ടു​വ​ശ ങ്ങ​ൾ കാ​ണു​ക.
x,y എ​ന്നി​വ സ​മ​ച​തു​ര​ത്തി​ന്‍റെ വ​ശ​ങ്ങ​ളാ​യാ​ൽ

x2+y2 = 500
4x-4y =40
x-y = 10
y=x-10
x2 + (x+10)2 = 500
2x2-20x-400=0
x2-10x-200=0
x=20 or x=-10
x,y എ​ന്നി​വ സ​മ​ച​തു​ര​ത്തി​ന്‍റെ വ​ശ​ങ്ങ​ളാ​യാ​ൽ വ​ശം നെ​ഗ​റ്റീ​വ് ആ​കി​ല്ല.
x= 20
ഒ​ന്നാ​മ​ത്തെ സ​മ​ച​തു​ര​ത്തി​ന്‍റെ വ​ശം x= 20m
ര​ണ്ടാ​മ​ത്തെ സ​മ​ച​തു​ര​ത്തി​ന്‍റെ വ​ശം y= 20-10 = 10m

ത്രി​കോ​ണ​മി​തി

1. ഒ​രു ത്രി​കോ​ണ​ത്തി​ലെ കോ​ണു​ക​ൾ അ​തി​ലെ വ​ശ​ങ്ങ​ളു​ടെ അം​ശ​ബ​ന്ധം നി​ശ്ച​യി​ക്കു​ന്നു.
2. കോ​ണു​ക​ൾ 450,450,900 ആ​യ ഏ​തു ത്രി​കോ​ണ​ത്തി​ന്‍റെ​യും വ​ശ​ങ്ങ​ൾ 1:1: 2 എ​ന്ന അം​ശ​ബ​ന്ധ​ത്തി​ലാ​ണ്.
3.കോ​ണു​ക​ൾ 300,600,900 ആ​യ ഏതു ത്രി​കോ​ണ​ത്തി​ന്‍റെ​യും വ​ശ​ങ്ങ​ൾ 1: 3:2 എ​ന്ന അം​ശ​ബ​ന്ധ​ത്തി​ലാ​ണ്.
4. ത്രി​കോ​ണംABC യു​ടെ ര​ണ്ടു​വ​ശ​ങ്ങ​ൾ a,c എ​ന്നി​വ​യും ഇ​ട​യി​ലു​ള്ള​കോ​ണ്‍ B യു​മാ​യാ​ൽ , B 900 യി​ൽ കു​റ​വ് പ​ര​പ്പ​ള​വ് =


5. ത്രി​കോ​ണം ABCയു​ടെ വ​ശ​ങ്ങ​ൾ a,c എ​ന്നി​വ​യും ഇ​ട​യി​ലു​ള്ള കോ​ണ്‍ Bയും (B,900​യ്ക്ക് മു​ക​ളി​ൽ) ആ​യാ​ൽ പ​ര​പ്പ​ള​വ് =


6. കേ​ന്ദ്ര​കോ​ണ്‍ 600 ആ​യ ഞാ​ണി​ന്‍റെ നീ​ളം = ആ​ര​ത്തി​ന്‍റെ നീ​ളം
7.കേ​ന്ദ്ര​കോ​ണ്‍ 1200 ആ​യ ഞാ​ണി​ന്‍റെ നീ​ളം= 3 x ​ആ​രം
8. "r' ​ആ​ര​മാ​യ​വൃ​ത്ത​ത്തി​ലെ ‘c' കേ​ന്ദ്ര​കോ​ണു​കൂ​ടി​യ ഞാ​ണി​ന്‍റെ നീ​ളം =


9. മേ​ൽ​കോ​ണ്‍ (Angle of elevation) : സാ​ധാ​ര​ണ​യാ​യി ന​മ്മു​ടെ നോ​ട്ട​ത്തി​ന്‍റെ പാ​ത നി​ല​ത്തി​നു സ​മാ​ന്ത​ര​മാ​ണ്. ഉ​യ​ര​ത്തി​ലു​ള്ള​വ​യെ നോ​ക്കു​ന്പോ​ൾ ഇ​ത് മേ​ൽ​പ്പോ​ട്ടു​യ​രും. ഈ ​ര​ണ്ടു വ​ര​ക​ൾ ത​മ്മി​ലു​ള്ള കോ​ണി​നെ മേ​ൽ​കോ​ണ്‍ ((Angle of elevation) എ​ന്നാ​ണ് പ​റ​യു​ന്ന​ത്.
10. കീ​ഴ്കോ​ണ്‍((Angle of depression) : ഉ​യ​ര​ത്തി​ൽ നി​ൽ​ക്കു​ന്പോ​ൾ താ​ഴെ​യു​ള്ള​വ​യെ കാ​ണാ​ൻ ദൃ​ഷ്ടി താ​ഴ്ത്തേ​ണ്ടി വ​രു​ന്പോ​ൾ സാ​ധാ​ര​ണ നോ​ട്ട​ത്തി​ന്‍റെ പാ​ത​യും താ​ഴേ​ക്കു​ള്ള നോ​ട്ട​ത്തി​ന്‍റെ പാ​ത​യും ഉ​ണ്ടാ​കു​ന്ന കോ​ണി​നെ കീ​ഴ്കോ​ണ്‍ ((Angle of depression) എ​ന്നാ​ണ് പ​റ​യു​ന്ന​ത്.



ചോ​ദ്യ​ങ്ങ​ൾ



2. അ​നു​വും വി​നു​വും പ​ട്ടം പ​റ​പ്പി​ക്കു​ക​യാ​ണ്.​ര​ണ്ടു​പേ​രു​ടെ​യും പ​ട്ട​ത്തി​ന്‍റെ നൂ​ലി​ന്‍റെ 55 മീ​റ്റ​ർ.​ര​ണ്ടു​പേ​രും പ​ര​മാ​വ​ധി നൂ​ലു​പ​യോ​ഗി​ച്ച സ​ന്ദ​ർ​ഭ​ത്തി​ൽ അ​നു​വി​ന്‍റെ നൂ​ലി​ന്‍റെ അ​ഗ്രം ത​റ​യു​മാ​യി ഉ​ണ്ടാ​കു​ന്ന കോ​ണ്‍ 400യും ​വി​നു​വി​ന്‍റേത് 300 ആ​ണെ​ങ്കി​ൽ
1.അ​നു​വി​ന്‍റെ​യും വി​നു​വി​ന്‍റെ​യും പ​ട്ട​ങ്ങ​ൾ​ക്ക് ത​റ​യി​ൽ നി​ന്നു​ള്ള ഉ​യ​രം ക​ണ്ടു​പി​ടി​ക്കു​ക.
2. ആ​രു​ടെ പ​ട്ട​മാ​ണ് ത​റ​യി​ൽ നി​ന്നും കൂ​ടു​ത​ൽ ഉ​യ​ര​ത്തി​ൽ പ​റ​ക്കു​ന്ന​ത്? എ​ത്ര കൂ​ടു​ത​ൽ

ഉ​ത്ത​രം

1. അ​നു​വി​ന്‍റെ പ​ട്ട​ത്തി​ന് ത​റ​യി​ൽ നി​ന്നു​ള്ള ഉ​യ​രം = BD
ത്രി​കോ​ണ BD യി​ൽ നി​ന്നും



വി​നു​വി​ന്‍റെ പ​ട്ട​ത്തി​ന് ത​റ​യി​ൽ നി​ന്നു​ള്ള ഉ​യ​രം
= CE
ACE യി​ൽ നി​ന്നും



അ​നു​വി​ന്‍റെ പ​ട്ട​മാ​ണ് ത​റ​യി​ൽ നി​ന്നും കൂ​ടു​ത​ൽ ഉ​യ​ര​ത്തി​ൽ പ​റ​ക്കു​ന്ന​ത്.
കൂ​ടു​ത​ലു​ള്ള ഉ​യ​രം = 35.35 -27.5
= 7.85മീ

5. ​ഘ​ന​രൂ​പ​ങ്ങ​ൾ

1. ഒ​രു സ​മ​ച​തു​ര​സ്തൂ​പി​ക​യു​ടെ മു​ഖ​ങ്ങ​ളു​ടെ എ​ണ്ണം 6 ഒ​രു പാ​ദ​മു​ഖ​വും, 4 പാ​ർ​ശ്വ​മു​ഖ​വും. പാ​ദം സ​മ​ച​തു​ര​വും, പാ​ർ​ശ്വ​മു​ഖ​ങ്ങ​ൾ സ​മ​പാ​ർ​ശ്വ​ത്രി​കോ​ണ​ങ്ങ​ളു​മാ​ണ്.​ആ​കെ വ​ക്കു​ക​ളു​ടെ എ​ണ്ണം 8,4 പാ​ദ​വ​ക്കു​ക​ളും(b) 4 പാ​ർ​ശ്വ​വ​ക്കു​ക​ളു(c)
2. സ്തൂ​പി​ക​ക്ക് ര​ണ്ട് ത​രം ഉ​യ​ര​ങ്ങ​ളു​ണ്ട്.​യ​ഥാ​ർ​ത്ഥ ഉ​യ​രം (h), പാ​ർ​ശ്വ​മു​ഖ​ങ്ങ​ളു​ടെ ഉ​യ​ര​മാ​യ ച​രി​വു​യ​രം (I)



3.സ​മ​ച​തു​ര​സ്തൂ​പി​ക​യു​ടെ ഉ​പ​രി​ത​ല വി​സ്തീ​ർ​ണ്ണം = b2+2bl
4.സ​മ​ച​തു​ര​സ്തൂ​പി​ക​യു​ടെ വ്യാ​പ്തം =



5. വൃ​ത്താം​ശം മ​ട​ക്കി​യാ​ണ് വൃ​ത്ത​സ്തൂ​പി​ക ഉ​ണ്ടാ​ക്കു​ന്ന്. R ആ​ര​വും X കേ​ന്ദ്ര​കോ​ണും ഉ​ള്ള വൃ​ത്താം​ശം മ​ട​ക്കി ഉ​ണ്ടാ​കു​ന്ന വൃ​ത്ത​സ്തൂ​പി​ക​യു​ടെ ച​രി​വു​യ​രം I = R ആ​ണ്. ആ​രം കാ​ണു​വാ​നു​ള്ള വാ​ക്യം



6. വൃ​ത്ത​സ്തൂ​പി​ക​യു​ടെ ആ​രം,ഉ​യ​രം,ച​രി​വു​യ​രം എ​ന്നി​വ ബ​ന്ധ​പ്പെ​ടു​ത്തു​ന്ന വാ​ക്യം l2= r2+h2
7.വൃ​ത്ത​സ്തൂ​പി​ക​യു​ടെ ഉ​പ​രി​ത​ല​പ​ര​പ്പ​ള​വ്



8.വൃ​ത്ത​സ്തൂ​പി​ക​യു​ടെ വ്യാ​പ്തം



9.ഗോ​ള​ത്തി​ന്‍റെ ഉ​പ​രി​ത​ല​ വി​സ്തീ​ർ​ണ്ണം =
10. ഗോ​ള​ത്തി​ന്‍റെ വ്യാ​പ്തം


11. അ​ർ​ദ്ധ​ഗോ​ള​ത്തി​ന്‍റെ ഉ​പ​രി​ത​ല വി​സ്തീ​ർ​ണ്ണം


12.അ​ർ​ദ്ധ​ഗോ​ള​ത്തി​ന്‍റെ വ്യാ​പ്തം


ചോ​ദ്യ​ങ്ങ​ൾ

1. 9 സെ​ന്‍റി​മീ​റ്റ​ർ ആ​ര​മു​ള്ള വൃ​ത്ത​സ്തൂ​പി​കാ​കൃ​തി​യാ​യ ഒ​രു പാ​ത്രം ഉ​പ​യോ​ഗി​ച്ച് 12.സെ.​മീ ആ​ര​വും 15 സെ.​മീ ഉ​യ​ര​വു​മു​ള്ള വൃ​ത്ത​സ്തം​ഭ​കൃ​തി​യാ​യ ഒ​രു പാ​ത്ര​ത്തി​ൽ പാ​ൽ അ​ള​ന്നോ​ഴി​ച്ചു.4 പ്രാ​വ​ശ്യം ഒ​ഴി​ച്ച​പ്പോ​ൾ പാ​ത്രം നി​റ​ഞ്ഞു​വെ​ങ്കി​ൽ വൃ​ത്ത​സ്തൂ​പി​കാ​കൃ​തി​യാ​യ പാ​ത്ര​ത്തി​ന്‍റെ ഉ​യ​ര​മെ​ത്ര?
വൃ​ത്ത​സ്തം​ഭ​ത്തി​ന്‍റെ വ്യാ​പ്തം


വൃ​ത്ത​സ്തൂ​പി​ക​യു​ടെ ഉ​യ​രം h ആ​യാ​ൽ വ്യാ​പ്തം


2.മ​ര​ത്ത​ടി​യി​ൽ നി​ർ​മ്മി​ച്ച ഒ​രു വൃ​ത്ത​സ്തൂ​പി​ക​യു​ടെ പാ​ദ ആ​രം 30സെ.​മീ,ഉ​യ​രം 40 സെ.​മീ.​അ​തി​ന്‍റെ ച​രി​വു​യ​ര​മെ​ത്ര? ഇ​ത്ത​രം 10 വൃ​ത്ത​സ്തൂ​പി​ക​ര​ളു​ടെ മു​ഖ​ങ്ങ​ൾ ചാ​യം തേ​ക്കു​ന്ന​തി​ന് ച​തു​ര​മീ​റ്റ​റി​ന് 50 രൂ​പ നി​ര​ക്കി​ൽ ആ​കെ എ​ത്ര രൂ​പ​യാ​കും.
ച​രി​വു​യ​രം = 50സെ.​മീ
പാ​ദ​പ​ര​പ്പ​ള​വ് = 900 ച ​സെ​മീ
വ​ക്ര​ത​ല​പ​ര​പ്പ​ള​വ് = 1500 ച​സെ.​മീ
10 സ്തൂ​പി​ക​ക​ളു​ടെ പ​ര​പ്പ​ള​വ് = 2400 x 10 ച.​സെ.​മീ
=7.536 ച ​മീ
ചി​ല​വ് =376.80 രൂ​പ

9. ജ്യാ​മി​തി​യും ബീ​ജ​ഗ​ണി​ത​വും

അം​ശ​ബ​ന്ധം

ഒ​രു വ​ര​യെ ഒ​രു ബി​ന്ദു നി​ശ്ചി​ത അം​ശ​ബ​ന്ധ​ത്തി​ൽ ഭാ​ഗി​ക്കു​ന്ന സാ​ഹ​ച​ര്യ​മാ​ണ് ഇ​വി​ടെ വി​ല​യി​രു​ത്ത​പ്പെ​ടു​ന്ന​ത്.

A(x1,y1) B(x2,y2)) എ​ന്നീ ബി​ന്ദു​ക്ക​ളെ യോ​ജി​പ്പി​ക്കു​ന്ന വ​ര​യി​ലെ ബി​ന്ദു​വാ​ണ് P(x,y) PA:PB =m:n ആ​ണ്.​അ​താ​യ​ത് P(x,y)എ​ന്ന ബി​ന്ദു A(x1,y1) B(x2,y2) എ​ന്നീ ബി​ന്ദു​ക്ക​ൾ യോ​ജി​പ്പി​ക്കു​ന്ന വ​ര​യെ m:n എ​ന്ന അം​ശ​ബ​ന്ധ​ത്തി​ൽ ഭാ​ഗി​ക്കു​ന്ന Aയു​ടെ​യും Bയു​ടെ​യും സൂ​ച​ക​സം​ഖ്യ​ക​ളുംm,n എ​ന്നീ സം​ഖ്യ​ക​ളും ഉ​പ​യോ​ഗി​ച്ച് Pയു​ടെ സൂ​ച​ക​സം​ഖ്യ​ക​ൾ ക​ണ്ടെ​ത്ത​ണം A,P,B എ​ന്നീ ബി​ന്ദു​ക്ക​ളി​ൽ നി​ന്നും "x' അ​ക്ഷ​ത്തി​ലേ​ക്ക് ലം​ബം വ​ര​യ്ക്കു​ക.​ചി​ത്ര​ത്തി​ൽ ത്രി​കോ​ണം ANB , ത്രി​കോ​ണം AQP എ​ന്നീ​വ സ​ദൃശ്യ​ത്രി​കോ​ണ​ങ്ങ​ളാ​ണ്.



ചോ​ദ്യം

1. (1,6) 5,2) എ​ന്നീ ബി​ന്ദു​ക്ക​ൾ യോ​ജി​പ്പി​ക്കു​ന്ന വ​ര​യെ മൂ​ന്ന് സ​മ​ഭാ​ഗ​ങ്ങ​ളാ​ക്കു​ന്ന ബി​ന്ദു​ക്ക​ളു​ടെ സൂ​ച​ക​സം​ഖ്യ​ക​ൾ ക​ണ​ക്കാ​ക്കു​ക.
C, D എ​ന്നീ​ബി​ന്ദു​ക്ക​ൾ
ABയെ 3 ​തു​ല്യ​ഭാ​ഗ​ങ്ങ​ളാ​ക്കു​ന്നു.
AC:DB=1:2
AD:DB=2:1
"c’​യു​ടെ x സൂ​ച​ക​സം​ഖ്യx =



"y' സൂചകങ്ങളുടെ സംഖ്യ y



D യുടെ "x' സൂചകസംഖ്യ =



"y' സൂചകസംഖ്യ =



വരക്കണക്ക്
നാലുതരം വരകളുണ്ട്

1. "x ’അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായ വരകൾ
2. "x' അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായ വരകൾ
3. വലത്തേക്ക് ചരിഞ്ഞ വരകൾ
4. ഇടത്തേക്ക് ചരിഞ്ഞ വരകൾ
1. ഒരു വരയ്ക്ക് "x'അക്ഷത്തിന്‍റെ പോസ്റ്റീവ് ദിശയുമായി രൂപീകരിക്കുന്ന കോണിന്‍റെ tan അളവാണ് വരയുടെ ചരിവ്
2. A(x1y1) B(x2y2)എന്നീ ബിന്ദുക്കളിലൂടെ കടന്നു പോകുന്ന വരയുടെ ചരിവ്



3. ഒരു വരയ്ക്ക് ഒരു ചരിവ് മാത്രമേ ഉണ്ടാകൂ. ചരിവ് കണക്കാക്കുന്നതിന് വരയിലെ ഏതെങ്കിലും രണ്ട് ബിന്ദുക്കൾ പരിഗണിച്ച് ക്രിയ ചെയ്യുക.
4. മൂന്ന് ബിന്ദുക്കൾ ഒരു വരയിലാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കുന്നതിന് ചരിവ് എന്ന ആശയം ഉപയോഗിക്കുന്നു.
5. വ​ര​ക​ൾ സ​മാ​ന്ത​ര​വ​ര​ക​ൾ ആ​ണെ​ങ്കി​ൽ അ​വ​യു​ടെ ച​രി​വ് തു​ല്യ​മാ​യി​രി​ക്കും.
6.ലം​ബ​ങ്ങ​ളു​ടെ ച​രി​വു​ക​ളു​ടെ ഗു​ണ​ന​ഫ​ലം -1 ആ​ണ്.
7. ‘x' സൂ​ച​ക​സം​ഖ്യ​ക​ളും"y’ സൂ​ച​ക​സം​ഖ്യ​ക​ളും സ​മാ​ന്ത​ര ശ്രേ​ണി​യി​ലാ​യ ബി​ന്ദു​ക്ക​ളെ​ല്ലാം ഒ​രു വ​ര​യി​ലാ​യി​രി​ക്കും.

രൂ​പ​ങ്ങ​ളും സ​മ​വാ​ക്യ​ങ്ങ​ളും

"x’അ​ക്ഷ​ത്തി​ലെ ബി​ന്ദു​ക്ക​ളു​ടെ "y’ സൂ​ച​ക​സം​ഖ്യ പൂ​ജ്യ​മാ​ണ്. y=0 എ​ന്ന​ത് xഅ​ക്ഷ​ത്തി​ന്‍റെ സ​മ​വാ​ക്യ​മാ​ണ്.
"y' അ​ക്ഷ​ത്തി​ലെ ബി​ന്ദു​ക്ക​ളു​ടെ "x’സൂ​ച​ക​സം​ഖ്യ പൂ​ജ്യ​മാ​ണ് x=0 എ​ന്ന​ത് ്y അ​ക്ഷ​ത്തി​ന്‍റെ സ​മ​വാ​ക്യ​മാ​ണ്.
ഏ​തൊ​രു വ​ര​യ്ക്കും സ​മ​വാ​ക്യം ഉ​ണ്ടാ​യി​രി​ക്കും.
ഒ​രു വ​ര​യി​ലെ ബി​ന്ദു​ക്ക​ളു​ടെ "x’ സൂ​ച​ക​സം​ഖ്യ​യും "y’ ​സൂ​ച​ക​സം​ഖ്യ​യും ത​മ്മി​ലു​ള്ള ബ​ന്ധ​മാ​ണ് വ​ര​യു​ടെ സ​മ​വാ​ക്യ​മാ​യി എ​ഴു​തു​ന്ന​ത.് (1,2),(2,2) (3,3) എ​ന്നീ ബി​ന്ദു​ക്ക​ളി​ലൂ​ടെ ക​ട​ന്നു പോ​കു​ന്ന വ​ര​യു​ടെ സ​മ​വാ​ക്യം x=y എ​ന്ന​താ​ണ്.
ax+by+c =0 എ​ന്ന വ​ര​യു​ടെ ച​രി​വ്



വൃ​ത്ത​ത്തി​ന്‍റെ സ​മ​വാ​ക്യം

1. x2+y2=r2 എ​ന്ന​ത് ആ​രം "r’ ആ​യ​തും (x, y)
ആ​ധാ​ര​ബി​ന്ദു കേ​ന്ദ്ര​മാ​യ​തും ആ​യ
വൃ​ത്ത​ത്തി​ന്‍റെ സ​മ​വാ​ക്യ​മാ​ണ്.
2. കേ​ന്ദ്രം(x1,y1) ആ​രം "r' വൃ​ത്തി​ലെ ഒ​രു ബി​ന്ദു
(x, y) ആ​യാ​ൽ വൃ​ത്ത​ത്തി​ന്‍റെ സ​മ​വാ​ക്യം
(x-x1)2 + (y-,y1)2 =r2 ആ​യി​രി​ക്കും.
3. (x1, y1) (x2, y2) എ​ന്നീ ബി​ന്ദു​ക്ക​ൾ
യോ​ജി​പ്പി​ക്കു​ന്ന വ​ര​യി​ലെ ഒ​രു ബി​ന്ദു (x, y) ​
ആ​യാ​ൽ ആ ​വ​ര​യു​ടെ സ​മ​വാ​ക്യം

ആ​ണ്.

4. ഒ​രു സാ​മാ​ന്ത​രി​ക​ത്തി​ന്‍റെ നാ​ലു മൂ​ല​ക​ൾ ക്ര​മ​ത്തി​ൽ(x1,y1)(x2,y2)(x3,y3)(x4,y4) ഇ​വ ആ​യാ​ൽ x1,+ x3 = x2 +x4 y1+y3 = y2+y4

ബ​ഹു​പ​ദ​ങ്ങ​ൾ

1. P(x) എ​ന്ന ബ​ഹു​പ​ദ​ത്തി​നെ x-a കൊ​ണ്ട് ഹ​രി​ച്ചാ​ൽ കി​ട്ടു​ന്ന ശി​ഷ്ടംP(a)
2. . P(x) എ​ന്ന ബ​ഹു​പ​ദ​ത്തി​നെ x+a ​കൊ​ണ്ട് ഹ​രി​ച്ചാ​ൽ കി​ട്ടു​ന്ന ശി​ഷ്ടം P(-a)
3. . P(x) എ​ന്ന ബ​ഹു​പ​ദ​ത്തി​ന്‍റെ ഘ​ട​ക​മാ​ണ് x-a എ​ങ്കി​ൽ P(a)=0
4. P(x) എ​ന്ന ബ​ഹു​പ​ദ​ത്തി​ന്‍റെ ഘ​ട​ക​മാ​ണ് x+a എ​ങ്കി​ൽ P(-a)=0

1. 2x2-3x-1 എ​ന്ന പോ​ളി​നോ​മി​യ​ലി​നോ​ട് ഏ​ത് സം​ഖ്യ കൂ​ട്ടി​യാ​ൽ x-1 , പോ​ളി​നോ​മി​യ​ലി​ന്‍റെ ഒ​രു ഘ​ട​ക​മാ​കും?
P(x) = 2x2-3x-1
P(x)+ k യു​ടെ ഘ​ട​ക​മാ​ണ് x-1 എ​ന്ന് ക​രു​തു​ക
P(x)+ k= 2x2-3x-1+k
2x12-3 x 1-1+k=0
p(1)=-2
p(1)k=0 ആ​യാ​ൽ k=2
P(x) എ​ന്ന ബ​ഹു​പ​ദ​ത്തെ x-a കൊ​ണ്ട് ഹ​രി​ക്കു​ന്പോ​ഴു​ള്ള ശി​ഷ്ടം k യും Q(x) ​നെ x-a കൊ​ണ്ട് ഹ​രി​ക്കു​ന്പോ​ഴു​ള്ള ശി​ഷ്ടം -k യും ​ആ​യാ​ൽ P(x) +Q(x) ന്‍റെ ഘ​ട​ക​മാ​ണ് x-a എ​ന്ന് തെ​ളി​യി​ക്കു​ക.
P(x) നെ x-a ​കൊ​ണ്ട് ഹ​രി​ക്കു​ന്പോ​ഴു​ള്ള ശി​ഷ്ടം P(a)=k
P(x) നെ x-a ​കൊ​ണ്ട് ഹ​രി​ക്കു​ന്പോ​ഴു​ള്ള ശി​ഷ്ടംQ(a)=-k
P(x) +Q(x) നെ ​കൊ​ണ്ട് ഹ​രി​ക്കു​ന്പോ​ഴു​ള്ള ശി​ഷ്ടം =P(a)+Q(a)
= k-k
=0
x-a,p(x)+Q(x) ഘ​ട​ക​മാ​ണ്.

സ്ഥി​തി വി​വ​ര​ക്ക​ണ​ക്ക്
1. ലോംഗ് ജംപ് പ​രി​ശീ​ല​ന​ത്തി​ൽ ഒ​രാ​ൾ ചാ​ടി​യ ദൂ​ര​ങ്ങ​ൾ ഇ​ങ്ങ​നെ​യാ​ണ്. 6.10,6.20 6.18,6.20 6.25,6.21 6.15,6.10 ഇ​വ​യു​ടെ മാ​ധ്യ​വും മ​ധ്യ​മ​വും ക​ണ്ടു​പി​ടി​ക്കു​ക.
മ​ധ്യ​മം കാ​ണാ​ൻ ഇ​വ​യെ ആ​രോ​ഹ​ണ​ക്ര​മ​ത്തി​ൽ എ​ഴു​തി മ​ധ്യ​ത്തി​ലേ​ത് എ​ടു​ക്കു​ക.



2. ഒ​രു സ്കൂ​ളി​ലെ 10-ാം ക്ലാ​സ്സി​ൽ പ​ഠി​ക്കു​ന്ന കു​ട്ടി​ക​ളു​ടെ ഉ​യ​രം എ​ണ്ണം തി​രി​ച്ച് പ​ട്ടി​ക​യാ​യി ചു​വ​ടെ കൊ​ടു​ത്തി​രി​ക്കു​ന്നു.​മാ​ധ്യ​മ ഉ​യ​രം ക​ണ്ടു​പി​ടി​ക്കു​ക.



മെ​ർ​ലി​ൻ ഫി​ലി​പ്പ്
സെ​ന്‍റ് ജോ​ർ​ജ് എ​ച്ച്എ​സ്എ​സ്, മ​ണി​മ​ല